已知数列{an}满足an+2+an=2an+1，且a3+a5=14，a4+a6=18求数列{an}的通项公式an；令bn=ann

题文

已知数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），且a₃+a₅=14，a₄+a₆=18
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_n（12）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₃+a₅=14，a₄+a₆=18，
∴a1+2d+a1+4d=14a1+3d+a1+5d=18，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n（12）ⁿ=（2n-1）•（12）ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和
S_n=1×12+3×（12）²+5×（12）³+…+（2n-1）×（12）ⁿ，①
∴12Sn=1×（12）²+3×（12）³+5×（12）⁴+…+（2n-1）×（12）ⁿ⁺¹，②
①-②，得12Sn=12+2×（12）²+2×（12）³+2×（12）⁴+…+2×（12）ⁿ-（2n-1）×（12）ⁿ⁺¹
=12+2×[（12）²+（12）³+（12）⁴+…+（12）ⁿ]-（2n-1）×（12）ⁿ⁺¹
=12+2×14[1-(12)n-1]1-12-（2n-1）×（12）ⁿ⁺¹
=12+1-（12）^n-1-（2n-1）×（12）ⁿ⁺¹，
∴Sn=3-(12)n-2-(2n-1)(12)n．

解析

a1+2d+a1+4d=14a1+3d+a1+5d=18

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+2+an=2a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：