已知数列{an}的前n项和为sn，点在函数y=x2的图象上，数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1，且b1=a1

题文

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，s_n）（n∈N^*）在函数y=x²的图象上，数列{b_n}满足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明列数{bn2n+1}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足对任意的n∈N*，均有an+1=c1b1+2+c2b2+22+c3b2+23+…+cnbn+2n成立c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点（n，s_n）在函数y=x²的图象上，
∴s_n=n²（n∈N^*）
当n=1时，a₁=s₁=1²=1
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
a₁=1也适合，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2）
∴bn2n+1=6bn-1+2n+12n+1=3bn-12n-1+3=3(bn-12n-1+1)(n≥2)
∵b1=a1+3=4∴b121+1=3
∴{bn2n+1}其首项为3，公比为3的等比数列
∴bn2n+1=3.3n-1=3n∴bn=6n-2n(n∈N*)
（3）由（2）得b_n+2ⁿ=6ⁿ
由题意得n∈N*均有an+1=c1b1+2+c1b2+22+c3b3+23++cnbn+2n
∴an=c1b1+2+c1b2+22+c3b3+23++cn-1bn-1+2n-1(n≥2)
∴an+1-an=cnbn+2n=2(n≥2)∴cn=2.6n(n≥2)(10分)又∵a2=c1b1+2=3∴c1=3(b1+2)=3•6=18
∴cn=18(n=1)2•6n(n≥2)(12分)
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀=18+2（6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁰）=6+2（6¹+6²+6³+…+6²⁰¹⁰）
=6+2•6(62010-1)6-1=2•62011+185
=25（6²⁰¹¹+9）

解析

bn2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为sn，点（n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：