已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且a1，a2，a4成等比数列．求数列{an}的通项公式；设数列{an}的前n项和为Sn，求数列{1S

题文

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{1Sn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由题意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n(n-1)=n2+n，
∴1Sn=1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1．
则Tn=1S1+1S2+…+1Sn
=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)
=1-1n+1=nn+1，
所以数列{1Sn}的前n项和Tn=nn+1．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为0的等差数列{an}的首项a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：