等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50．求数列{an}的通项an；若Sn=210，求n；令bn=2an-10，求证

题文

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若S_n=210，求n；
（3）令bn=2an-10，求证：数列{b_n}为等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n=a₁+（n-1）d，a₁₀=30，a₂₀=50，得方程组a1+9d=30a1+19d=50，…（2分）
解得a₁=12，d=2．…（4分）
∴a_n=12+（n-1）•2=2n+10．…（5分）
（2）由Sn=na1+n(n-1)2d，Sn=210…（7分）
得方程12n+n(n-1)2×2=210…（8分）
解得n=10或n=-21（舍去） …（10分）
（3）由（1）得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n，…（11分）
∴bn+1bn=4n+14n=4
∴{b_n}是首项是4，公比q=4的等比数列．…（12分）

解析

a1+9d=30a1+19d=50

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：