在数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1若数列{bn}是首项为1

题文

在数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是首项为a₁，公差为d等差数列（a₁•d≠0），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断数列{b_n}是否为等比数列？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
两式相减a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1₌n•2^n-1
因为{b_n}数列是首项为1，公比为2的等比数列，则b_n=2^n-1
所以a_n=n；
（2）数列{a_n}是首项为a₁，公差为d等差数列（a₁•d≠0），a_n=a₁+（n-1）d，
由（1）可知a_nb_n=n•2^n-1，所以b_n=n•2n-1a1+(n-)d．
数列{b_n}的通项公式：b_n=n•2n-1a1+(n-)d．
（3）{a_n}是等差数列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1=n•2^n-1
所以 a_n=n•2n-1bn，
a_n-1=(n-1)•2n-2bn-1，
a_n-2=(n-2)•2n-3bn-2，
{a_n}是等差数列 2a_n-1=a_n-2+a_n
即2×(n-1)•2n-2bn-1=n•2n-1bn+(n-2)•2n-3bn-2，即4(n-1)bn-1=4nbn+n-2bn-2
若{b_n}是等比数列，则b_n-1²=b_n-2•b_n，上式不满足b_n-1²=b_n-2•b_n，所以不成立
所以数列{b_n}不是等比数列．

解析

n•2n-1a1+(n-)d

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}，{bn}中，对任何正整数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：