已知数列{an}是等差数列，且a3=5，a5=9，Sn是数列{an}的前n项和．求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；若数列{bn}满足bn=

题文

已知数列{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₅=9，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足bn=1Sn•Sn+1，且T_n是数列{b_n}的前n项和，求b_n与T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可知：a3=a1+2d=5a5=a1+4d=9，解得：a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
Sn=(a1+an)n2=(1+2n-1)n2=n2．
（2）由（1）得，S_n=n²，
∴bn=1Sn•Sn+1=1n(n+1)=1n-1n+1
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.

解析

a3=a1+2d=5a5=a1+4d=9

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，且a3=5，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：