已知数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=12n2+112n，数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0，且b3=11，前9项和为153；（1

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=12n²+112n，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=3(2an-11)(2bn-1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞k57对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S_n=12n²+112n，故
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5；当n=11时，a₁=S₁=6；满足上式；
所以a_n=n+5，
（2）又因为b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以数列{b_n}为等差数列；
由S₉=9(b3+b7)2=153，b₃=11，故b₇=23；所以公差d=23-117-3=3；
所以：b_n=b₃+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：C_n=3(2an-11)(2bn-1)=1(2n-1)(2n+1)，
而C_n=3(2an-11)(2bn-1)=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n=12[1-13+13-15+…+12n-1-12n+1]
=12（1-12n+1）=n2n+1，
又因为T_n+1-T_n=n+12n+3-n2n+1=1(2n+3)(2n+1)＞0；
所以{T_n}是单调递增，故（T_n）_min=T₁=13；
由题意可知13＞k57；得k＜19，所以k的最大正整数为18；

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且有S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：