已知数列{an}中，an-an-1=-2，a1=20．求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；求使Sn最大的序号n的值；求数列{|an|}

题文

已知数列{a_n}中，a_n-a_n-1=-2，a₁=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求使S_n最大的序号n的值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n-a_n-1=-2，a₁=20，∴数列{a_n}是以20为首项，-2为公差的等差数列，
∴a_n=20-2（n-1）=-2n+22，S_n=20n-n（n-1）=21n-n²．
（2）令a_n=0，-2n+22=0，n=11，
∴当n=10或n=11时，使S_n最大．
（3）①n≤11（n∈N₊）时，T_n=S_n=21n-n²，
②n＞11（n∈N₊）时，a₁₂=-2×12+22=-2，S₁₁=S₁₀=21×10-10²=110，
T_n=S₁₁-（S_n-S₁₁）=2S₁₁-S_n=220-21n+n²，
T_n=21n-n2         (n≤11，n∈N+)n2-21n+220 (n＞11，n∈N+)．

解析

21n-n2         (n≤11，n∈N+)n2-21n+220 (n＞11，n∈N+)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，an-an-1=-2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：