已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13成等比数列．求数列{an}的通项公式；证明：1S1+1S2+…

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：1S1+1S2+…1Sn＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由a₁，a₄，a₁₃成等比数列，得a42=a1a13，
即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，所以a12+6a1d+9d2=a12+12a1d．
9d²=6a₁d，a1=32d．则d=23a1=23×3=2．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）Sn=na1+n(n-1)d2=3n+n2-n=n(n+2)．
则1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，
所以1S1+1  S2+…1Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2)
=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-12(n+1)-12(n+2)＜34．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=3，公差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：