数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}的前n项和

题文

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=lnnxa2n，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，对于任意n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
所以2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②
①-②得，2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n（n∈N^*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有bn=lnnxa2n≤1n2，
∴Tn≤112+122++1n2＜1+11•2+12•3++1(n-1)•n=1+(1-12)+(12-13)++(1n-1-1n)=2-1n＜2
（3）由已知a2=c21=2，∴c1=2，a3=c32=3，∴c2=33，a4=c43=4，∴c3=44，a5=c54=5，∴c4=55，
易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞
猜想n≥2时，{c_n}是递减数列
令f(x)=lnxx
则f′(x)=1-lnxx2，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），知lncn=ln(n+1)n+1
∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列，
又c₁＜c₂，
∴数列{c_n}中的最大项为c2=33．

解析

lnnxa2n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：