已知点列B1，B2，…，Bn，…顺次为抛物线y=14x2上的点，过点Bn作抛物线y=14x2的切线交

题文

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=14x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=14x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{1an•(32+cn)}的前n项和为S_n，求证：23≤S_n＜43． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵y=14 x²，∴y′=x2，y′|_x=n=n2，
∴点B_n（n，b_n）作抛物线y=14x2的切线方程为：y-n24=n2（x-n），
令y=0，则x=n2，即a_n=n2；（3分）
∵点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n=3n2  （5分）
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，则|A_nC_n|=2b_n
∴n=n22，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂为直角三角形   （9分）
（3）证明：∵1an•(32+cn)=1n2(32+3n2)=134n(n+1)=43（1n-1n+1）（11分）
∴S_n=43（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=43（1-1n+1）＜43
又1-1n+1随n的增大而增大，
∴当n=1时，S_n的最小值为：43（1-11+1）=23，
∴23≤S_n＜43（14分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知点列B1（1，b1），B2（2，b2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：