已知数列{an}的每一项都是正数，满足a1=2，且an+12-anan+1-2an2=0；等差数列{bn}的前n项和为Tn，b2=3，T5=25．求数列{

题文

已知数列{a_n}的每一项都是正数，满足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差数列{b_n}的前n项和为T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）比较1T1+1T2+…+1Tn与2的大小；
（3）若b1a1+b2a2+…+bnan＜c恒成立，求整数c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0
得（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0，
由于数列{a_n}的每一项都是正数，∴a_n+1=2a_n，∴a_n=2ⁿ．
设b_n=b₁+（n-1）d，由已知有b₁+d=3，5b₁+5×42d=25，
解得b₁=1，d=2，∴b_n=2n-1．
（2）由（1）得T_n=n²，∴1Tn=1n2，
当n=1时，1T1=1＜2．
当n≥2时，1n2＜1(n-1)n=1n-1-1n．
∴1T1+1T2+…+1Tn＜1+11-12+12-13++1n-1-1n=2-1n＜2．
（3）记P_n=b1a1+b2a2+…+bnan=12+322+523+…+2n-12n．
∴12P_n=122+323++2n-32n+2n-12n+1，
两式相减得P_n=3-2n+32n．
∵P_n递增，∴12≤P_n＜3，P₄=3716＞2，
∴最小的整数c=3．

解析

5×42

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的每一项都是正数，满足a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：