已知等差数列{an}，前n项和为Sn，若a3=3，S4=10求通项公式an；求Sn的最小值；令bn=14an2-1，求数列{bn}的前n项和T

题文

已知等差数列{a_n}，前n项和为S_n，若a₃=3，S₄=10
（1）求通项公式a_n；
（2）求S_n的最小值；
（3）令bn=14an2-1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知，a3=a1+2d=3S4=4a1+4×32d=10⇒a1=1d=1，所以a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）方法1：因为公差d=1＞0，所以等差数列为递增数列，所以S_n≥S₁=1．
方法2：Sn=n(n+1)2=12(n+12)2-18，对称轴为n=-12，所以当n=1时，S_n最小为S₁=1．
（3）因为bn=14a2n-1=14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
所以Tn=b1+b2+…+bn=12[1-13+13-15+…+12n-1-12n+1]=12(1-12n+1)=n2n+1．

解析

a3=a1+2d=3S4=4a1+4×32d=10

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}，前n项和为Sn，若.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：