已知等差数列{an}为递增数列，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和Tn=1-12bn；求数列{an}和{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和Tn=1-12bn；
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若cn=3n•bnan•an+1，s_n为数列{c_n}的前n项和，证明：s_n＜1 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得a₂=3，a₅=9
公差d=a5-a25-2=2   （2分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1  （4分）
由Tn=1-12bn得n=1时b1=23   
n≥2时bn=Tn-Tn-1=12bn-1-12bn（6分）
得bn=13bn-1所以bn=23n（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=3n•bnanan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1
∴s_n=c₁+c₂+c₃++c_n=(11-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)
=1-12n+1＜1(12分)
∴S_n＜1

解析

a5-a25-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}为递增数列，且a2，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：