已知等差数列{an}满足a3=5，且a5-2a2=3．又数列{bn}中，b1=3且3bn-bn+1=0．求数列{an}，{bn}的通

题文

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又数列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．
（I） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若a_i=b_j，则称a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共项．
①求出数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项；
②从数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，求剩下所有项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∵a₃=5，且a₅-2a₂=3
∴a₁+2d=5，-a₁+2d=3
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
∵3b_n-b_n+1=0，
∴bn+1bn=3，
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（II）①数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项为3，9，27，81；
②∵a₁₀₀=199，81＜a₁₀₀＜243
∴数列{a_n}的前100项中包含4个公共项
∵S100=100(1+199)2=10000
∴数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足a3=5，且a5.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：