已知函数f=2，数列{an}是各项均不为0的等差数列，点在函数f的图象上；数列{bn}满足bn=(34)n-1．（

题文

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足bn=(34)n-1．
（I）求a_n；
（II）若数列{c_n}满足cn=an4n-1•bn，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，2得a21=S1a22=S3，即a21=a1，…①a22=3a1+3d，…②解得a1=1d=2，
∴a_n=2n-1；
（II）由（I）得cn=an4n-1•bn=2n-14n-1•(34)n-1=2n-13n-1，
令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=130+331+532+…+2n-33n-2+2n-13n-1，①
∴13T_n=131+332+533+…+2n-33n-1+2n-13n，②
①-②得23T_n=13 +232+233+…+23n-1-2n-13n=1+23×1-13n-11-13-2n-13n=2-2(n+1)3n
∴T_n=3-n+13n-1＜3．

解析

a21=S1a22=S3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：