已知等差数列{an}的前n项和为An，且满足a1+a5=6，A9=63；数列{bn}的前n项和为Bn，且满足Bn=2bn-1(n∈N*)．求数列{an}，

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为A_n，且满足a₁+a₅=6，A₉=63；数列{b_n}的前n项和为B_n，且满足Bn=2bn-1(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_b，b_n；
（II）设c_n=a_n•b_n求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设 {a_n}的首项为a₁，公差为d，因为 a₁+a₅=6，得a₁+2d=3．由A₉=63，得a₁+4d=7，两式联立解得a₁=-1，d=2．
所以an=-1+2(n-1)=2n-3，n∈N•．
当n=1时，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．当 n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
所以数列{b_n}是首项是1，公比为2的等比数列．所以bn=2n-1，n∈N•．
（II）因为c_n=a_n•b_n，所以cn=an⋅bn=(2n-3)⋅2n．
则Sn=-2+1⋅22+3⋅23+…+(2n-3)⋅2n   ①
2Sn=-22+1⋅23+3⋅24+…+(2n-3)⋅2n+1 ②
①-②得，-Sn=-2+2⋅22+2⋅23+…+2⋅2n-(2n-3)⋅2n+1=2⋅22(1-2n-1)1-2-2-(2n-3)⋅2n+1=2⋅22(1-2n-1)1-2-2-(2n-3)⋅2n+1=2n+1-8-2-(2n-3)⋅2n+1=(4-2n)⋅2n+1-10，
所以Sn=10-(4-2n)⋅2n+1，即数列{c_n}的前n项和为Sn=10-(4-2n)⋅2n+1．

解析

2⋅22(1-2n-1)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为An，且.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：