设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列；数列{Sn}是等差数列吗？为什么？

题文

设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和．
（1）求证：数列{S_n}不是等比数列；
（2）数列{S_n}是等差数列吗？为什么？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
因为a₁≠0，所以（1+q）²=1+q+q²，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S_n}不是等比数列．
（2）当q=1时，{S_n}是等差数列；当q≠1时，{S_n}不是等差数列，
否则2S₂=S₁+S₃，即2a₁（1+q）=a₁+a₁（1+q+q²），得q=0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S_n}不是等差数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：