已知数列{an}是公差为正的等差数列，其前n项和为Sn，点在抛物线y=32x2+12x上；各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116，b5=

题文

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在抛物线y=32x2+12x上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足b1b3=116，b5=132．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点（n，S_n）在抛物线y=32x2+12x上，
∴Sn=32n2+12n，
当n=1时，a₁=S₁=2…（1分）
当n≥2时，Sn-1=32(n-1)2+12(n-1)=32n2-52n+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-1…（3分）
∴数列{a_n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1…（4分）
又∵各项都为正数的等比数列{b_n}满足b1b3=14，b5=132，
设等比数列{b_n}的公比为q，
∴b2=b1q=14，b1q4=132…（5分）
解得b1=12，q=12…（6分）
∴bn=(12)n…（7分）
（2）由（1）可知Cn=(3n-1)•(12)n…（8分）
∴Tn=2×12+5×(12)2+…+(3n-3)×(12)n-1+(3n-1)×(12)n…①…（9分）
∴12Tn=2×(12)2+5×(12)3+…+(3n-3)×(12)n+(3n-1)×(12)n+1…②…（10分）
②-①知∴12Tn=1+3[(12)2+(12)3+…+(12)n]-(3n-1)×(12)n+1
=1+3×14[1-(12)n-1]1-12-(3n-1)×(12)n+1=52-3×(12)n-(3n-1)×(12)n+1…（12分）
∴Tn=5-3n+52n…（13分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差为正的等差数列，其.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：