设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-Sn-1=t．求证：数列{an}是等比数列；设数列

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(1bn-1)（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵tS_n-（t+1）S_n-1=t，（n≥2）①tS_n-1-（t+1）S_n-2=t，（n≥3）②
①-②，得ta_n-（t+1）a_n-1=0．
∴anan-1=t+1t（n∈N^*，n≥3）．
又由t（1+a₂）-（t+1）=t．得a2=t+1t．
又∵a₁=1，∴a2a1=t+1t．
所以{a_n}是一个首项为1，公比为t+1t的等比数列．
（Ⅱ）由f（t）=t+1t，得bn=f(1bn-1)=1+b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴{b_n}是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是b_n=n．
（Ⅲ）由b_n=n，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，
于是b_2n=2n．
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2•(2+2n)n2=-2n2-2n．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项a1=1，前n项和S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：