已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项．求数列{an}和{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b_n}的第一项、第二项、第三项．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设数列{c_n}对任意的n∈N^*均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1，求数列{c_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知（2+2d）²=2（2+10d）
∴d=3或d=0（舍）
数列{a_n}的通项公式a_n=3n-1；
∴b₂=a₃=8，b₃=a₁₁=32
∴公比为82=4，首项为2
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ，
（II）由c1b1+c2b2++cnbn=an+1，c1b1+c2b2++cn-1bn-1，
=an⇒cnbn=an+1-an=3(n≥2）
∴c_n=3×2^2n-1（n≥2）
又c₁=b₁×a₂=10
∴cn=10，(n=1)3×22n-1，(n≥2)
所以数列{c_n}的前n项和Sn=10+24(1-4n-1)1-4=2+22n+1

解析

82

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=2，公差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：