已知等差数列{an}的公差大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=1-bn2．求数列{a

题文

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-bn2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根且等差数列{a_n}的公差大于0，
所以解得a₂=3，a₅=9，所以公差d=a5-a25-2=2，所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1．
当n=1时，b1=S1=1-b12，解得b1=13，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn)，
所以bnbn-1=13(n≥2)，所以数列{b_n}是以b₁为首项，公比q=13的等比数列，
所以bn=b1qn-1=(13)n=13n．
（2）由（1）知，cn=anbn=2n-13n，则数列{c_n}的前n项和为T_n，
则Tn=13+332+…+2n-13n  ①
13Tn=132+333+…+2n-13n+1 ②
①-②得23Tn=13+232+233+…+23n-2n-13n+1
=13+232[1-(13)n-1]1-13-2n-13n+1，
整理得Tn=1-n+13n+1，因为n∈N^•，所以n+13n+1＞0，
故Tn=1-n+13n+1＜1．

解析

a5-a25-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差大于0，且a2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：