设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a1+d=______．

题文

设正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a₁+d=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
因为数列{a_n}的前n项和是S_n，
所以S1=a1，S2=2a1+d，S3=3a1+3d．
又{Sn}也是公差为d的等差数列，
则S2=2a1+d=a1+d，两边平方得：2a1+d=a1+2da1+d2①
S3=3a1+3d=a1+2d，两边平方得：3a1+3d=a1+4da1+4d2②
②-①得：a1=-2d+2da1+3d2③，
把③代入①得：d（2d-1）=0．
所以d=0或d=12．
当d=0时，a₁=0，不合题意，
当d=12时，代入③解得a1=14．
所以a1+d=14+12=34．
故答案为34．

解析

S1

考点

据考高分专家说，试题“设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：