已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n．求数列{an}的通项公式an；设Tn为数列{an2n}的前n项和

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设T_n为数列{an2n}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，a_n+1-a_n=2（n≥2）a₁=2，a₂=s₁+2，
∴a₂-a₁=2，所以{a_n}等差a_n=2n
（2）an2n=2n2n=n2n-1，Tn=1+22+322+…+n2n-1
12Tn=12+222+…+n-12n-1+n2n
12Tn=2-(n+2)12n，Tn=4-n+22n-1

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：