已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1-bn2(n∈N*)．求数列{

题文

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且Sn=1-bn2(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=a5-a35-3=2.
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．（3分）
又当n=1时，有b1=S1=1-b12
∴b1=13
当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn)，∴bnbn-1=13(n≥2).
∴数列{b_n}是首项b1=13，公比q=13等比数列，
∴bn=b1qn-1=13n.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=2n-13n，则Tn=131+332+533++2n-13n（1）
∴13Tn=132+333+534++2n-33n+2n-13n+1（2）（10分）
（1）-（2）得：23Tn=13+232+233++23n-2n-13n+1=13+2(132+133++13n)-2n-13n+1
化简得：Tn=1-n+13n（12分）

解析

a5-a35-3

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差大于0，且a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：