公差不为0的等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列．求数列{an}的通项公式和它的前20项和S20．求数列{1anan+1}

题文

公差不为0的等差数列{a_n}中，a₄=10且a₃，a₆，a₁₀成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式和它的前20项和S₂₀．
（II）求数列{1anan+1}前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列{a_n}的公差为d，则a₃=a₄-d=10-d，a₆=a₄+2d=10+2d，a₁₀=a₄+6d=10+6d
由a₃，a₆，a₁₀成等比数列得a₃a₁₀=a₆²，
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）²，
整理得10d²-10d=0，解得d=0或d=1．
∵d≠0，∴d=1（6分）
故a₁=a₄-3d=10-3×1=7，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+6，
于是S20=20a1+20×192d=20×7+190=330．
（II）1anan+1=1(n+6)(n+7)=1(n+6)-1(n+7)
Tn=(17-18)+(18-19)++(1n+6-1n+7)=17-1n+7

解析

20×192

考点

据考高分专家说，试题“公差不为0的等差数列{an}中，a4=1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：