已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn(n∈N*)．求数列

题文

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-12bn(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}中的最大项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a2+a5=12a2•a5=27⇒a1=1d=2∴a_n=2n-1
n=1时，b1=T1=1-12b1
∴b1=23
n≥2时，Tn=1-12bn，Tn-1=1-12bn-1，
两式相减得bn=13bn-1数列是等比数列，
∴bn=23•(13)n-1
（Ⅱ）cn=(2n-1)•23•(13)n-1cn+1-cn=83•(13)n(1-n)
∴当n=1时，c₂=c₁
当n≥2时，c_n+1＜c_n，∴c_n单调递减，
∴数列{c_n}中的最大项为c₁=c₂=23

解析

a2+a5=12a2•a5=27

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d大于0，且a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：