设数列{an} 的前n项和为Sn ，已知S1=1，Sn+1Sn=n+cn，且a1，a2，a3成等差数列．求c的值；求数

题文

设数列{a_n} 的前n项和为S_n ，已知S₁=1，Sn+1Sn=n+cn（c为常数，c≠1，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）若数列{b_n} 是首项为1，公比为c的等比数列，记A_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，B_n=a₁b₁-a₂b₂+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N^*．证明：A_2n+3B_2n=43（1-4ⁿ）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S₁=1，Sn+1Sn=n+cn，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=cnSn，-------------------------（2分）
∴a₁=S₁=1，a₂=cS₁=c，a₃=c2S2=c2(1+c)．
∵a₁，a₂，a₃成等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，
即2c=1+c(1+c)2，
∴c²-3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）
解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵）∵S₁=1，Sn+1Sn=n+2n，
∴S_n=S₁×S2S1×…×SnSn-1=1×31×42×…×n+1n-1=n(1+n)2（n≥2），-------------------（8分）
∴a_n=S_n-S_n-1=n(1+n)2-n(n-1)2=n（n≥2），------------------------------------------（9分）
又a₁=1，∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n（n∈N^*）．-----------------------------------（10分）
（3）证明：∵数列{b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，
∴b_n=c^n-1．---------（11分）
∵A_2n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_2nb_2n，B_2n=a₁b₁-a₂b₂+…-a_2nb_2n，
∴A_2n+B_2n=2（a₁b₁+a₃b₃+…+a_2n-1b_2n-1），①
A_2n-B_2n=2（a₂b₂+a₄b₄+…+a_2nb_2n），②
①式两边乘以c得 c（A_2n+B_2n）=2（a₁b₂+a₃b₄+…+a_2n-1b_2n）③
由②③得（1-c）A_2n-（1+c）B_2n=A_2n-B_2n-c（A_2n+B_2n）
=2[（a₂-a₁）b₂+（a₄-a₃）b₄+…+（a_2n-a_2n-1）b_2n]
=2（c+c³+…+c^2n-1）
= 2c(1-c2n)1-c2，
将c=2代入上式，得A_2n+3B_2n=43（1-4ⁿ）．-----------------------------------------（14分）
另证：先用错位相减法求A_n，B_n，再验证A_2n+3B_2n=43（1-4ⁿ）．
∵数列{b_n}是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴bn=2n-1．--------------（11分）
又是a_n=n（n∈N^*），所以A_2n=1×2⁰+2×2¹+…+2n×2^2n-1①
B_2n=1×2⁰-2×2¹+…-2n×2^2n-1②
将①乘以2得：
2A_2n=1×2¹+2×2²+…+2n×2²ⁿ③
①-③得：-A_2n=2⁰+2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=1(1-22n)1-2-2n×2²ⁿ，
整理得：A_2n=4ⁿ（2n-1）+1-------------------------（12分）
将②乘以-2得：-2B_2n=-1×2¹+2×2²-…+2n×2²ⁿ④
②-④整理得：3B_2n=2⁰-2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=1(1-22n)1-(-2)-2n×2²ⁿ=1-4n3-2n×4ⁿ，（13分）
∴A_2n+3B_2n=43（1-4ⁿ）-----------------------------------------（14分）

解析

Sn+1Sn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an} 的前n项和为Sn ，已知.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：