已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn=an+1．求数列{an}的通项公式；设bn=1an•an+1，求数列{bn}的前

题文

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的正整数n满足2Sn=an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1an•an+1，求数列{b_n}的前n项和B_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由2Sn=an+1，n=1代入得a₁=1，
两边平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
（1）式中n用n-1代入得4Sn-1=(an-1+1)2 &(n≥2)（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，0=（a_n-1）²-（a_n-1+1）²，（3分）
[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正数数列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，有a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）bn=1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
裂项相消得Bn=n2n+1．（14分）

解析

Sn

考点

据考高分专家说，试题“已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：