已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，计算a2，a3，a4的值；令bn=an+1-an-1，求证：数

题文

已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{Sn+λTnn}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵a1=12，∴a2=34，
同理，a3=118，a4=3516；
（Ⅱ）证明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=an+1+n+12-a_n+1-1=12（a_n+1-a_n-1）=12b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-34
∴数列{b_n}是以-34为首项，12为公比的等比数列；
（Ⅲ）存在λ=2，使数列{Sn+λTnn}是等差数列．
由（Ⅱ）知，bn=-3×(12)n+1，Tn=3×(12)n+1-32，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+3×(12)n+1，∴a_n=n-2+3×(12)n，
∴S_n=n(n+1)2-2n+3×12(1-12n)1-12=n2-3n2+3-32n
由题意，要使数列{Sn+λTnn}是等差数列，则2×S2+λT22=S1+λT11+S3+λT33
∴2×10-9λ16=12-34λ+42-21λ48，∴λ=2
当λ=2时，Sn+λTnn=n-32，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12，点(n，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：