已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是数列{an}的前n项和；数列{bn}前n项的积为Tn，且Tn=2n(1-n)求数列{an}，{

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是数列{a_n}的前n项和；数列{b_n}前n项的积为T_n，且Tn=2n(1-n)
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）是否存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
（3）求数列{1Sn+1-1}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减即得
a_n+2-a_n=4，即数列{a_n}隔项成等差数列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n为奇数时，an=a1+4(n+12-1)=2n-1；…（2分）
n为偶数时，an=a2+4(n2-1)=2n-1．…（3分）
∴n∈N₊，a_n=2n-1…（4分）
又当n=1时 b1=T1=20=1，
n≥2时bn=TnTn-1=22(1-n)=14n-1
∴n∈N₊，bn=14n-1…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，数列{a_n}成等差数列
∴Sn=n(a1+an)2=n2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a
若存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列，则（S_n-a）+（S_n+2-a）=2（S_n+1-a）在n∈N₊时恒成立
即n²-a+（n+2）²-a=2（（n+1）²-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在     …（10分）
（3）由（2）知1Sn+1-1=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
∴Tn=12(1-13)+12(12-14)+12(13-15)+12(14-16)+…+12(1n-1n+2)
=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32n2+6n+4…（13分）

解析

n+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，an+a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：