已知等差数列{an}中，公差d＜0，且a1+a5=12，a2a4=32．求数列{an}的通项公式；若数列{an}的前项的和为Sn，求Sn的最大值．

题文

已知等差数列{a_n}中，公差d＜0，且a₁+a₅=12，a₂a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前项的和为S_n，求S_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是等差数列，∴a₁+a₅=a₂+a₄=12
又a₂a₄=32，∴a₂，a₄可以看成一元二次方程x²-12x+32=0的两个根．
由公差d＜0知，a₂＞a₄，∴a₂=8，a₄=4…（5分）
从而d=-2，∴a_n=-2n+12；                      
（2）由Sn=10n+n(n-1)2•(-2)=-n2+11n=-(n-112)2+1214
∵n∈N*，∴当n=5或6时，S_n取最大值所以，S_n的最大值为30．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，公差d＜0，且a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：