已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n，n∈N*，令bn=1an•an+1，且数列{bn}的前项和为Tn．求证：数列{a

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），n∈N^*，令bn=1an•an+1，且数列{b_n}的前项和为T_n．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜n+85（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=na_n-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得a_n=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
整理得，a_n-a_n-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{a_n}为等差数列，且公差为2，a_n=1+2（n-1）=2n-1；                     
（2）bn=1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)=n2n+1
若不等式λTn＜n+85对任意正整数n均成立，则λ＜15•(2n+1)(n+8)n=15[2(n+4n)+17]对任意正整数n均成立，
∵n+4n≥4，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴15[2(n+4n)+17]的最大值为5∴λ＜5；                                   
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则（T_m）²=T₁•T_n，即(m2m+1)2=13•n2n+1
所以，m24m2+4m+1=n6n+3
从而，4m2+4m+1m2=6n+3n=6+3n＞6
所以，2m²-4m-1＜0，即1-62＜m＜1+62
因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

解析

1an•an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：