已知数列数列{an}前n项和Sn=-12n2+kn，且Sn的最大值为8．确定常数k并求{an}的通项公式；若bn=9-2an，求数列

题文

已知数列数列{a_n}前n项和Sn=-12n2+kn（其中k∈N^*），且S_n的最大值为8．
（Ⅰ）确定常数k并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=9-2a_n，求数列{1bnbn+1}前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）Sn=-12n2+kn=-12(n-k)2+12k2，
又k∈N^*，所以当n=k时S_n取得最大值为12k2=8，解得k=4，
则Sn=-12n2+4n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-12n2+4n）-[-12（n-1）²+4（n-1）]=-n+92，
当n=1时，a₁=-12+4=72，适合上式，
综上，a_n=-n+92；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=9-2a_n=9-2（-n+92）=2n，
所以1bnbn+1=12n(2n+2)=14(1n-1n+1)，
T_n=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=14(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1)，
所以数列{1bnbn+1}前n项和T_n为n4(n+1)．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列数列{an}前n项和Sn=-12.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：