设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+n，数列{bn}的通项公式为bn=xn-1．求数列{an}的通项公式；设cn=anbn，数列{cn}的前

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n，数列{b_n}的通项公式为b_n=x^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．
①求T_n；
②若x=2，求数列{nTn+1-2nTn+2-2}的最小项的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2=2，n=12n，n≥2=2n．（2分）
（2）c_n=2nx^n-1，
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
则xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2x^n-1-2nxⁿ，
当x≠1时，（1-x）T_n=2×1-xn1-x-2nxⁿ，
T_n=2-2(n+1)xn+2nxn+1(1-x)2，（5分）
当x=1时，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．（6分）
（3）当x=2时，T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．
则nTn+1-2nTn+2-2=n22(n+1)．（7分）
设f（n）=n22(n+1)．
因为f（n+1）-f（n）=(n+1)22(n+2)-n22(n+1)=n2+3n+12(n+1)(n+2)＞0，（10分）
所以函数f（n）在n∈N₊上是单调增函数．（11分）
所以n=1时，f（n）取最小值14，即数列{nTn+1-2nTn+2-2}的最小项的值为14．（12分）

解析

S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：