记数列{an}的前n项和为Sn，若{Snan}是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时d=______．

题文

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若{Snan}是公差为d的等差数列，则{a_n}为等差数列时d=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵{Snan}是S1a1=1为首项，d为公差的等差数列，
∴Snan=1+（n-1）d，
∴S_n=a_n+（n-1）da_n，①
S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．②
①-②得：
a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，
整理可得
（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，
假设d=0，那么Snan=1，
S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=a₂，
∴a₁=0，∵a₁为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设a_n的公差为d′，
所以有d′=(1-d)an-1(n-1)d，
当d=1时，d′=0，a_n是以a₁为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，a_n-1=（n-1）d•d′1-d，
a_n-a_n-1=d•d′1-d=d′，
∴d=12，
此时，a_n是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=12．
故答案为：1或12．

解析

Snan

考点

据考高分专家说，试题“记数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：