设函数f=14x2+bx-34．已知不论α，β为何实数，恒有f≤0，f≥0．对于正项数列{an}，其前n项和为Sn=f

题文

设函数f（x）=14x2+bx-34．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{a_n}，其前n项和为S_n=f（a_n）n∈N^*．
（1）求实数b；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若C_n=1(1+an)2(n∈N+)且数列{Cn}的前n项和为Tn，比较Tn与16的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵cosα∈[-1，1]，sinβ∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
不论α、β为何实数恒有  f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0
即对x∈[-1，1]有f（x）≤0对x∈[1，3]有f（x）≥0
∴x=1时f（1）=0
（2）∵Sn=f(an)=14a2n+12an-34⇒Sn-1=14a2n-1+12an-1-34
∴n≥2时Sn-Sn-1=an=14(a2n-a2n-1)+12(an-an+1)
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2
∴{a_n}是首项为a，公差为2的等数列
由a1=S1代入方程a1=14a21+12a1-34⇒a21-2a1-3=0
∴a₁=3∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（3）∵Cn=1(1+2n+1)2=1(2n+2)2＜1(2n+2)2-1=12(12n+1-12n+3)
∴Tn=C1+C2+…+Cn＜12[13-15+15-17+…+12n+1-12n+3]=12(13-12n+3)=16-12(2n+3)＜16

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=14x2+bx-34．已.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：