已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=12(3n-1)，等差数列{bn}中，bn＞0，且b1+b2+b3=15，又a1+b1，a2+b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，Sn=12(3n-1)（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1，n＞1，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
又因a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，
∵b_n＞0（n∈N^*），
∴舍去d=-10，取d=2，∴b₁=3．
∴b_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）由（1）知
∴T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n） 
=1-3n1-3+n(3+2n+1)2=3n2+n2+2n-12．

解析

1-3n1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：