已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=1-an．求数列{an}的通项公式；设bn=1log12an，cn=bnbn+1n+1+n，记

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1log12an，cn=bnbn+1n+1+n，记Tn=c1+c2+…+cn，证明：Tn＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=1-a_n，
当n=1时，S₁=1-a₁，
∴a₁=12
当n≥2时，S_n=1-a_n，S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得，s_n-s_n-1=a_n-1-a_n
∴an=12an-1
∴数列{a_n}是以12为首项，以12为公比的等比数列
∴an=12n
证明：（2）∵bn=1log12an=1log1212n=1n
∴cn=n+1-nn(n+1)=1n-1n+1
∴Tn=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1＜1

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：