已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．求数列{an}的通项公式；设数列{1Sn}的前

题文

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{1Sn}的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列的首项为a₁，则
∵S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列
∴5a1+10d=35(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)
∵d≠0，∴d=2，a₁=3
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（II）S_n=n(3+2n+1)2=n(n+2)
∴1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
∴T_n=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2)

解析

5a1+10d=35(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：