已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是al+1与a7+1的等比中项．求数列{an}的通项公式；令bn=an-12n(n∈N*)，求数列{b}

题文

已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=an-12n(n∈N*)，求数列{b}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，
∵且a₃+1是a_l+1与a₇+1的等比中项，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，
解得a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1），
∴a_n=2n+1．
（2）bn=an-12n=2n+1-12n=n2n-1，
∴Tn=120+221+…+n-12n-2+n2n-1，①
∴12Tn=121+222+…+n-12n-1+n2n，②
①-②，得12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n，
∴Tn=4-2n+42n．

解析

an-12n

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差为2的等差数列，且a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：