在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=S2b2．求an与bn；（I

题文

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b2+S2=12，q=S2b2．
（I）求a_n与b_n；
（II）设Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求T_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，
且b2+S2=12，q=S2b2，
∴b1q+a1+a2=12q=a1+a21•q，即q+6+d=12①6+d=q2    ②，解得：d=3q=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．
（Ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₁b_n
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•3²+…+3×2×3^n-2+3•3^n-1
=n•3+（n-1）•3²+（n-2）•3³+…+2•3^n-1+3ⁿ．
∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．
∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1
=（3²+3³+…+3ⁿ⁺¹）-3n
=9×(1-3n)1-3-3n=3n+22-3n-92．
∴Tn=3n-12-n-32．

解析

S2b2

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1=3，其前n项.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：