等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点在二次函数f=x2+c图象上．求c，an；若kn=an2n，求数列{kn}

题文

等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+c图象上．
（1）求c，a_n；
（2）若k_n=an2n，求数列{k_n}前n项和T_n ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）点（n，S_n）在二次函数f（x）=x²+c的图象上，
∴Sn=n2+c，
a₁=S₁=1+c，
a₂=S₂-S₁=（4+c）-（1+c）=3，
a₃=S₃-S₂=5，
又∵a_n是等差数列，
∴6+c=6，c=0，
d=3-1=2，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，k_n=an2n，
∴kn=2n-12n，
∴T_n=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n，…①
12Tn=122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1，…②
①-②，得12Tn=12+2（122+123+123+…+12n）-2n-12n+1
=12+2×122[1-(12)n-1]1-12-2n-12n+1
=32-2n+32n+1．
∴T_n=3-2n+32n．

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：