已知f=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f=n2，f=n；求数列{

题文

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求f（12）的值；
（3）比较f（12）的值与3的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，则na₁+n(n-1)2d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即n2×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（12）=（12）+3（12）²+5（12）³+…+（2n-1）（12）ⁿ，①
两边都乘以12，可得12f（12）=（12）²+3（12）³+5（12）⁴+…+（2n-1）（12）ⁿ⁺¹，②
①-②，得 12f（ 12）=12+2（ 12）²+2（ 12）³+…+2（ 12）ⁿ-（2n-1）（ 12）ⁿ⁺¹，
即12f（ 12）=12+12+（ 12）²+…+（ 12）^n-1-（2n-1）（ 12）ⁿ⁺¹．
∴f（ 12）=1+1+12+122+…+12n-2-（2n-1）12n=1+1-12n-11-12-（2n-1）12n=1+2-12n-2-（2n-1）12n=3-（2n+3）（12）ⁿ；
则f（12）=3-（2n+3）（12）ⁿ；
（3）由（2）的结论，f（12）=3-（2n+3）（12）ⁿ，
又由（2n+3）（12）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（12）ⁿ＜3，
则f（12）＜3．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：