已知函数f(x)=aln(x+1)-x1+x在[0，+∞）上单调递增，数列{an}满足a1=13，a2=79，an+2=43an+1-13an．（Ⅰ

题文

已知函数f(x)=aln(x+1)-x1+x在[0，+∞）上单调递增，数列{a_n}满足a1=13，a2=79，an+2=43an+1-13an（n∈N^*）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：1a1+2+1a2+2+…+1an+2＜ln3n+1-2（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，f′（x）=a1+x-1(x+1)2≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥11+x在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴11+x∈（0，1]
∴a≥1
当a=1时，f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）∵an+2=43an+1-13an，
∴an+2-13an+1=an+1-13an
∴{an+1-13an}是常数数列
∵a1=13，a2=79，
∴a2-13a1=23
∴an+1-13an=23
∴an+1=13an+23
∴an+1-1=13(an-1)
∴{a_n-1}是首项为-23，公比为13的等比数列
∴a_n-1=（-23）•(13)n-1
∴a_n=1-23n；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln(x+1)＞x1+x对x∈[0，+∞）恒成立
令x=2an，则ln(2an+1)＞2an1+2an
∴2an+2＜ln（2an+1）=ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）
∴2a1+2+2a2+2+…+2an+2＜[ln（3²-2）-ln（3¹-2）]+[ln（3³-2）-ln（3²-2）]+…+ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）=ln（3ⁿ⁺¹-2）
∴1a1+2+1a2+2+…+1an+2＜12ln(3n+1-2)=ln3n+1-2

解析

a1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=aln(x+1)-x1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：