已知正项数列{an}满足：an-an-1=1，，且a1=4．求{an}的通项公式；求证1a1+1a2+…+1an＜1

题文

已知正项数列{a_n}满足：an-an-1=1，（n∈N⁺，n≥2），且a₁=4．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证1a1+1a2+…+1an＜1（n∈N⁺） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知数列{an}是等差数列，首项是2，公差为1；
∴an=2+(n-1)×1=n+1
∴a_n=（n+1）²
（2）证明：1ak=1(k+1)2＜1k(k+1)=1k-1k+1
∴1a1+1a2+…+1an＜1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1＜1

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足：an-an-1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：