已知数列{an}的前项和为Sn，点在函数y=32x2+52x的图象上．求数列{an}的通项an；设bn=2nan，求数列{bn}的前项和

题文

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（n，S_n）在函数y=32x2+52x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意有Sn=32n2+52n，当n=1时，a1=S1=32+52=4．（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=32n2+52n-[32(n-1)2+52(n-1)]=3n+1，（5分）
综上，a_n=3n+1，（6分）
（Ⅱ）b_n=（3n+1）•2ⁿ．T_n=4•2¹+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ①，（8分）
2T_n=4•2²+7•2³++（3n-2）•2ⁿ+（3n+1）•2ⁿ⁺¹②，（10分）
①-②整理得T_n=3n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²+4．（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前项和为Sn，点（n，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：