已知函数f=1x-1，各项均为正数的数列{an}满足an+2=f，若a2011=a2013，则a1=______．

题文

已知函数f（x）=1x-1，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，则a₁=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵知函数f（x）=1x-1，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=1an-1，
取n=2011，a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，a_n+2=1an-1，
可得a₂₀₁₃=1a2011-1=a₂₀₁₁，所以（a₂₀₁₁）²-a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=5+12，
∵a_n+2=1an-1，
∴a₂₀₀₉=1a2011-1=15+12-1=2(5+1)4=5+12，
a₂₀₀₇=1a2009-1=5+12
a₂₀₀₆=1a2007-1=5+12
依此类推可得
∴a₁=1a2-1=5+12
故答案为：5+12；

解析

1x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1x-1，各项均为正数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：