若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1=b1=1，且a2=b2，a6=b3．求d和q．是否存在常数a

题文

若{a_n}是公差d≠0的等差数列，通项为a_n，{b_n}是公比q≠1的等比数列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求d和q．
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立，若存在求之，若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得a₂=1+d=b₂=q，a₆=1+5d=b₃=q²，
上述两式联立求解可得q=4，d=3．
（2）假设存在常数a、b满足等式，
由a_n=1+（n-1）d=3n-2，b_n=q^n-1=4^n-1及a_n=log_ab_n+b
得（3-log_a4）n+log_a4-b-2=0，
∵n∈N^*，
∴3-loga4=0loga4-b-2=0，
∴a=34，b=1，故存在．

解析

3-loga4=0loga4-b-2=0

考点

据考高分专家说，试题“若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：