已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n，则它的前n项和Sn=______．

题文

已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），①
∴a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）n（n+1），②
①-②，得na_n=3n（n+1），
∴a_n=3n+3．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（3×1+3）+（3×2+3）+（3×3+3）+…+（3n+3）
=3（1+2+3+…+n）+3n
=3×n(n+1)2+3n
=3n2+9n2．
故答案为：3n2+9n2．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1+2a2+3a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：